已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，$f(x)=x$ 无实数根，求证: $f(f(x))=x$ 无实数根。

有人将待定系数的二次函数代入，可以将冗长的一串式子因式分解，最后利用不等式证明。

这个思路比较直接，但是 Naïve.

用更简单的办法可以得出更强的结论: 对定义域和值域均为 $D$ 的连续函数 $f(x)$，若 $f(x)$ 没有不动点，则 $g(x)=f(f(x))$ 没有不动点。

证明：即证

$\forall x\in D\colon f(f(x))\neq x$

令 $h(x)=f(x)-x$，由条件知

$\forall x\in D\colon h(x)\neq 0$

$\forall x_1,x_2 \in D\colon h(x_1)h(x_2)\neq 0$

假设 $h(x_1)h(x_2)<0$，由零点定理得 $\exists \xi \in D\colon h(\xi)=0$，产生矛盾，因此有

$\forall x_1,x_2 \in D\colon h(x_1)h(x_2)>0$

$\Rightarrow \forall x \in D\colon h(x)>0 \text{或} \forall x \in D\colon h(x)<0$

下面证明当 $\forall x \in D\colon h(x)>0$ 时的情况，小于 $0$ 时同理

$h(x)=f(x)-x>0$

$\Rightarrow f(x)>x$

而$f(x) \in D$，因此有

$f(f(x))>f(x)$

于是 $f(f(x))>f(x)>x\quad \Box$