常量: 功率 $P$，阻力 $f$，质量 $m$

变量: 牵引力 $F$，速度 $v$，加速度 $a$

两个方程:

$P=Fv$

$ma=F-f$

初始条件:

$v(0)=0$

由方程可得 $m \frac{\dd v}{\dd t}=\frac{P}{v}-f$ $\Rightarrow t=\int \frac{mv}{P-fv}\dd v$

一个简单的换元可得 $t=-m\left(\frac{P}{f^2}\ln(P-fv)-\frac{P-fv}{f^2}\right)+C$

根据初始条件得 $t=-m\left(\frac{P}{f^2}\ln\frac{P-fv}{P}+\frac{v}{f}\right)$

我们已经有了 $t(v)$ 的解析式, 求其反函数即可得 $v(t)$，然而 $v(t)$ 并不是一个初等函数

$v=\frac{P}{f}\left(1+\mathop{\mathrm{W}}\Bigl(-\mathrm{e}^{-1-\frac{f^2 t}{mP}}\Bigr)\right)$

其中 $\mathrm{W}(x)$ 为 Lambert W Function.

不清楚 $v(t)$ 并不妨碍给出以下结论。由 $t(v)$ 可知，$v\to \frac{P}{f}$ 时, $t\to +\infty$。$v$ 趋向于 $\frac{P}{f}$ 而并不能达到。雨滴下落、通电直导线磁场中下落等情景有类似结论。