对一个 $m\times n$ 实矩阵 $A$：

若 $m=n$，则

$\textstyle \sqrt{\det(A^\mathrm{T}A)}=\lvert\det A\rvert$

$\sqrt{\det(A^\mathrm{T}A)}$ 可视为相应 $\R^n\rightarrow \R^n$ 线性变换的 $n$ 维测度缩放因子。

若 $m<n$，显然 $\sqrt{\det(A^\mathrm{T}A)}=0$。

若 $m>n$，做奇异值分解 $A=U\Sigma V^\mathrm{T}$，则

$\sqrt{\det(A^\mathrm{T}A)}=\sqrt{\det(V\Sigma^\mathrm{T}\Sigma V^\mathrm{T})}=\left\lvert\det(\Sigma^\mathrm{T}\Sigma)\right\rvert$

若 $A$ 列满秩，则 $\sqrt{\det(A^\mathrm{T}A)}$ 即奇异值之积的绝对值，可视为相应 $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ 线性变换的 $n$ 维测度缩放因子。

对一曲线 $t\mapsto(x,y)$，雅克比矩阵为 $J=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}$，按上文的想法，有

$\textstyle \dd s=\sqrt{\det(J^\mathrm{T}J)}\,\dd t=\sqrt{x'^2+y'^2}\,\dd t$

这时来看曲面积分的面积元素 $\dd S$，曲面为 $(u,v)\mapsto(x,y,z)$，雅克比矩阵为 $J$， 同样可写作

$\dd S=\sqrt{\det(J^\mathrm{T}J)}\,\dd u\dd v$