题: 对于 $\{1,2,3,\dots,n\}$ 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的交替和：对每个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替地减或加后继的数。（例如，$\{1,2,4,6,9\}$ 的交替和是 $9-6+4-2+1=6$；$\{5\}$ 的交替和是 $5$。） 则交替和的总和为？ （用 $n$ 表示）

初看时，知对任意一个元素，所有包含该元素的集合的个数为 $2^{n-1}$，而 $n$ 是最大的，始终以「加」的形式在交替和中出现。

因此，仅仅考虑 $n$ 在交替和的和中的部分，是 $n\times 2^{n-1}$。

其余部分呢？有正有负，不好判断。

手动计算了当 $n=1,n=2,n=3$ 时交替和的和的值，分别为 $1,4,12$。它们刚好与 $n\times 2^{n-1}$ 相等。

于是猜想答案是 $n\times 2^{n-1}$。（「其余部分」精妙地抵消成为 $0$ 了）

证明:

令

$A_n=\{1,2,3,\dots,n\},\quad B_n=\{\ X\mid X\subset A_n, X\neq \varnothing\ \}$

记交替和的和为 $S_n$。

当 $n=1$ 时，结论显然成立。

假设当 $n=k$ 时，结论成立。

则有

$S_k=k\times 2^{k-1}$

当 $n=k+1$ 时，考虑 $B_{k+1}$，有以下划分：

$\Bigl\{ B_k, \bigl\{\{k+1\}\bigr\}, \bigl\{X\cup \{k+1\} \mid X\in B_k\bigr\} \Bigr\}$

$B_k$ 部分的交替和的和即 $S_k=k\times 2^{k-1}$。

$\bigl\{\{k+1\}\bigr\}$ 部分的交替和的和即 $k+1$。

下面讨论最后一部分的交替和的和。

由于 $k+1$ 是所有这些集合中的最大数，因此在交替和中必为正，加入到 $B_k$ 中的原有集合中后，原有元素在交替和中正负皆改变，故第三部分的交替和的和为

$(2^k-1)(k+1)-k\times 2^{k-1}$

综上，所有交替和的和的和，即 $S_{k+1}=(k+1)\times 2^k$。

即当 $n=k+1$ 时，结论成立，即

$\forall n \in N_+\colon S_n=n \times 2^{n-1} \quad \Box$