定理

对连续函数 $f(x)$ 和 $p,q \in \mathbb{Z}$ 且 $p<q$ :

若$f(x)$单调递增, 则

$\int_{a-1}^b f(x)\dd x<\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\dd x$

若$f(x)$单调递减, 则

$\int_{a-1}^b f(x)\dd x>\sum_{i=a}^bf(i)>\int_a^{b+1}f(x)\dd x$

由图像法可以很容易得出 $\forall x \in [a-1,b+1]\colon f(x)>0$ 条件下该定理的证明

下面给出一般的代数证明（只证明 $f(x)$ 单调递增时 $\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\dd x$，其他同理可证）

证明

由于 $f(x)$ 连续，记 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，有 $F'(x)=f(x)$

$\forall n \in [a,b] \cap \mathbb{Z}$，由拉格朗日中值定理得

$\exists \xi \in (n,n+1)\!:\,F'(\xi)=\frac{F(n+1)-F(n)}{(n+1)-n}=F(n+1)-F(n)$

即

$f(\xi)=F(n+1)-F(n)$

由于 $n<\xi$ 且 $f(x)$ 单调递增

$f(n)<f(\xi)=F(n+1)-F(n)$

即

$\forall n \in [a,b]\colon f(n)<F(n+1)-F(n)=F(x)\Big|^{n+1}_n=\int_n^{n+1}f(x)\dd x$

累加得

$\sum_{i=a}^b f(i)<\sum_{i=a}^b \int_i^{i+1}f(x)\dd x=\int_a^{b+1}f(x)\dd x$