定理

对连续函数$f(x)$和$p,q \in \mathbb{Z}$且$p<q:$

若$f(x)$单调递增, 则

$$\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x<\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x$$

若$f(x)$单调递减, 则

$$\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x>\sum_{i=a}^bf(i)>\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x$$

由图像法可以很容易得出$\forall x \in [a-1,b+1]:f(x)>0$条件下该定理的证明

下面给出一般的代数证明(只证明$f(x)$单调递增时$\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x$, 其他同理可证)

证明

由于$f(x)$连续, 记$F(x)$为$f(x)$的一个原函数, 有$F’(x)=f(x)$

$\forall n \in [a,b] \cap \mathbb{Z},$由拉格朗日中值定理得
$$\exists \xi \in (n,n+1): F’(\xi)=\frac{F(n+1)-F(n)}{(n+1)-n}=F(n+1)-F(n)$$
即
$$f(\xi)=F(n+1)-F(n)$$

$\because n<\xi$且$f(x)$单调递增

$$\therefore f(n)<f(\xi)=F(n+1)-F(n)$$

即
$$\forall n \in [a,b]: f(n)<F(n+1)-F(n)=F(x)\Big|^{n+1}_n=\int_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x$$

$$\therefore \sum_{i=a}^b f(i)<\sum_{i=a}^b \int_i^{i+1}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x$$

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