单调连续函数定积分与数列求和的关系

定理

对连续函数 :

单调递增, 则

单调递减, 则


由图像法可以很容易得出 条件下该定理的证明

下面给出一般的代数证明(只证明 单调递增时 ,其他同理可证)

证明

由于 连续,记 的一个原函数,有

,由拉格朗日中值定理得

由于 单调递增

累加得