单调连续函数定积分与数列求和的关系
定理
对连续函数\(f(x)\)和\(p,q \in \mathbb{Z}\)且\(p<q:\)
若\(f(x)\)单调递增, 则
\[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x<\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]
若\(f(x)\)单调递减, 则
\[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x>\sum_{i=a}^bf(i)>\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]
由图像法可以很容易得出\(\forall x \in [a-1,b+1]:f(x)>0\)条件下该定理的证明
下面给出一般的代数证明(只证明\(f(x)\)单调递增时\(\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\), 其他同理可证)
证明
由于\(f(x)\)连续, 记\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数, 有\(F'(x)=f(x)\)
\(\forall n \in [a,b] \cap \mathbb{Z},\)由拉格朗日中值定理得 \[\exists \xi \in (n,n+1): F'(\xi)=\frac{F(n+1)-F(n)}{(n+1)-n}=F(n+1)-F(n)\] 即 \[f(\xi)=F(n+1)-F(n)\]
由于\(n<\xi\)且\(f(x)\)单调递增
\[f(n)<f(\xi)=F(n+1)-F(n)\]
即 \[\forall n \in [a,b]: f(n)<F(n+1)-F(n)=F(x)\Big|^{n+1}_n=\int_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x\]
累加得
\[\sum_{i=a}^b f(i)<\sum_{i=a}^b \int_i^{i+1}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]