单调连续函数定积分与数列求和的关系

定理

对连续函数\(f(x)\)\(p,q \in \mathbb{Z}\)\(p<q:\)

\(f(x)\)单调递增, 则

\[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x<\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]

\(f(x)\)单调递减, 则

\[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x>\sum_{i=a}^bf(i)>\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]


由图像法可以很容易得出\(\forall x \in [a-1,b+1]:f(x)>0\)条件下该定理的证明

下面给出一般的代数证明(只证明\(f(x)\)单调递增时\(\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\), 其他同理可证)

证明

由于\(f(x)\)连续, 记\(F(x)\)\(f(x)\)的一个原函数, 有\(F'(x)=f(x)\)

\(\forall n \in [a,b] \cap \mathbb{Z},\)由拉格朗日中值定理得 \[\exists \xi \in (n,n+1): F'(\xi)=\frac{F(n+1)-F(n)}{(n+1)-n}=F(n+1)-F(n)\]\[f(\xi)=F(n+1)-F(n)\]

由于\(n<\xi\)\(f(x)\)单调递增

\[f(n)<f(\xi)=F(n+1)-F(n)\]

\[\forall n \in [a,b]: f(n)<F(n+1)-F(n)=F(x)\Big|^{n+1}_n=\int_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x\]

累加得

\[\sum_{i=a}^b f(i)<\sum_{i=a}^b \int_i^{i+1}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\]