机车启动问题-恒定功率启动 状态分析

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Ivan Chen 1月 05, 2019
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常量: 功率 $P$, 阻力 $f$, 质量 $m$
变量: 牵引力 $F$, 速度 $v$, 加速度 $a$

两个方程:

$$P=Fv$$

$$ma=F-f$$

初始条件:

$$v(0)=0$$

由方程可得
$$m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{P}{v}-f$$
$$\therefore t=\int \frac{mv}{P-fv}\mathrm{d}v$$

一个简单的换元可得
$$t=-m(\frac{P}{f^2}\mathrm{ln}(P-fv)-\frac{P-fv}{f^2})+C$$

根据初始条件得
$$t=-m(\frac{P}{f^2}\mathrm{ln}\frac{P-fv}{P}+\frac{v}{f})$$

我们已经有了 $t(v)$ 的解析式, 求其反函数即可得 $v(t),$ 然而 $v(t)$ 并不是一个初等函数
$$v=\frac{P}{f}(1+\mathrm{W}(-\mathrm{e}^{-1-\frac{f^2 t}{mP}}))$$
其中 $\mathrm{W}(x)$ 为 Lambert W Function

由 $t(v)$ 可知, $v\to \frac{P}{f}$时, $t\to +\infty$. 事实上, $v$ 趋向于 $\frac{P}{f}$ 而并不能达到, 这与该类高中物理题题目图像和教师所表述的「速度会在某一时刻到达$\frac{P}{f}$并开始匀速直线运动」相悖. 可见其作了近似处理. 然而, 不经说明便使用近似处理是不符逻辑的, 是错误的.

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