机车启动问题-恒定功率启动 状态分析

常量: 功率 \(P\), 阻力 \(f\), 质量 \(m\) 变量: 牵引力 \(F\), 速度 \(v\), 加速度 \(a\)

两个方程:

\[P=Fv\]

\[ma=F-f\]

初始条件:

\[v(0)=0\]

由方程可得 \[m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{P}{v}-f\] \[\therefore t=\int \frac{mv}{P-fv}\mathrm{d}v\]

一个简单的换元可得 \[t=-m(\frac{P}{f^2}\mathrm{ln}(P-fv)-\frac{P-fv}{f^2})+C\]

根据初始条件得 \[t=-m(\frac{P}{f^2}\mathrm{ln}\frac{P-fv}{P}+\frac{v}{f})\]

我们已经有了 \(t(v)\) 的解析式, 求其反函数即可得 \(v(t),\) 然而 \(v(t)\) 并不是一个初等函数 \[v=\frac{P}{f}(1+\mathrm{W}(-\mathrm{e}^{-1-\frac{f^2 t}{mP}}))\] 其中 \(\mathrm{W}(x)\) 为 Lambert W Function

不清楚\(v(t)\)并不妨碍给出以下结论。由 \(t(v)\) 可知, \(v\to \frac{P}{f}\)时, \(t\to +\infty\). \(v\) 趋向于 \(\frac{P}{f}\) 而并不能达到. 雨滴下落、通电直导线磁场中下落等情景有类似结论。