无不动点的连续函数f(x)与f(f(x))的不动点

已知二次函数,无实数根,求证: 无实数根。

有人将待定系数的二次函数代入,可以将冗长的一串式子因式分解,最后利用不等式证明。

这个思路比较直接,但是 Naive.


用更简单的办法可以得出更强的结论: 对定义域和值域均为的连续函数, 若没有不动点,则没有不动点。

证明: 即证

, 由条件知

假设 由零点定理得 产生矛盾, 因此有

下面证明当时的情况,小于时同理

, 因此有

于是