无不动点的连续函数f(x)与f(f(x))的不动点

已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\),\(f(x)=x\)无实数根,求证: \(f(f(x))=x\)无实数根。

有人将待定系数的二次函数代入,可以将冗长的一串式子因式分解,最后利用不等式证明。

这个思路比较直接,但是 Naive.


用更简单的办法可以得出更强的结论: 对定义域和值域均为\(D\)的连续函数\(f(x)\), 若\(f(x)\)没有不动点,则\(g(x)=f(f(x))\)没有不动点。

证明: 即证 \[\forall x\in D:f(f(x))\neq x\]

\(h(x)=f(x)-x\), 由条件知

\[\forall x\in D: h(x)\neq 0\]

\[\forall x_1,x_2 \in D:h(x_1)h(x_2)\neq 0\]

假设\(h(x_1)h(x_2)<0,\) 由零点定理得\(\exists \xi \in D:h(\xi)=0,\) 产生矛盾, 因此有

\[\forall x_1,x_2 \in D:h(x_1)h(x_2)>0\]

\[\Rightarrow \forall x \in D:h(x)>0 \text{或} \forall x \in D:h(x)<0\]

下面证明当\(\forall x \in D:h(x)>0\)时的情况,小于\(0\)时同理

\[h(x)=f(x)-x>0\]

\[\Rightarrow f(x)>x\]

\(f(x) \in D\), 因此有

\[f(f(x))>f(x)\]

于是 \[f(f(x))>f(x)>x\; \Box\]