无不动点的连续函数f(x)与f(f(x))的不动点

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Ivan Chen 6月 11, 2018
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已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$,$f(x)=x$无实数根,求证: $f(f(x))=x$无实数根。

有人将待定系数的二次函数代入,可以将冗长的一串式子因式分解,最后利用不等式证明。

这个思路比较直接,但是 Naive.


用更简单的办法可以得出更强的结论: 对定义域和值域均为$D$的连续函数$f(x)$, 若$f(x)$没有不动点,则$g(x)=f(f(x))$没有不动点。

证明: 即证
$$\forall x\in D:f(f(x))\neq x$$

令$h(x)=f(x)-x$, 由条件知

$$\forall x\in D: h(x)\neq 0$$

$$\forall x_1,x_2 \in D:h(x_1)h(x_2)\neq 0$$

假设$h(x_1)h(x_2)<0,$ 由零点定理得$\exists \xi \in D:h(\xi)=0,$ 产生矛盾, 因此有

$$\forall x_1,x_2 \in D:h(x_1)h(x_2)>0$$

$$\Rightarrow \forall x \in D:h(x)>0 或 \forall x \in D:h(x)<0$$

下面证明当$\forall x \in D:h(x)>0$时的情况,小于$0$时同理

$$h(x)=f(x)-x>0$$

$$\Rightarrow f(x)>x$$

而$f(x) \in D$, 因此有

$$f(f(x))>f(x)$$

于是
$$f(f(x))>f(x)>x\; \Box$$

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