无不动点的连续函数f(x)与f(f(x))的不动点

已知二次函数 ， 无实数根，求证: 无实数根。

有人将待定系数的二次函数代入，可以将冗长的一串式子因式分解，最后利用不等式证明。

这个思路比较直接，但是 Naïve.

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用更简单的办法可以得出更强的结论: 对定义域和值域均为 的连续函数 ，若 没有不动点，则 没有不动点。

证明：即证

令 ，由条件知

假设 ，由零点定理得 ，产生矛盾，因此有

下面证明当 时的情况，小于 时同理

而，因此有

于是