一类灵感来自稻妻解谜的谜题的通用解法

经过抽象并推广的谜题模型 谜题 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是整数变量（模\(m\)剩余类）。\(P_1,P_2,\cdots,P_k\)为\(k\)个操作，操作\(P_i\)使\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)数值分别增加\(P_{i1},P_{i2},\cdots,P_{in}.\quad(i=1,2,\cdots,k)\) （模\(m\)意义下） 给定\(a_1,a

数字推盘(数字华容道)的可解性

数字推盘游戏 - 维基百科 固定一个空位时的情形 在一个 \((n^2-1)\text{-puzzle}\) 中，固定空位的位置并设定一个初始状态，则 \((n^2-1)\) 个方块的状态可表示为一个置换（初始状态即为恒等函数）。称一个游戏状态合法，是指该状态可由初始状态进行若干次操作获得（当然最终的空位位置和原来是一样的）。 我们将证明，游戏状态合法当且仅当该状态为偶置换。 \(\Righta

通过 Fiddler 修改响应体实现网站全局 JS 的变速齿轮功能

使用轮子: jsgear 打开 Fiddler 4, 按下 Ctrl-R 以打开 Fiddler ScriptEditor. 找到方法 OnBeforeResponse, 在方法的最后添加代码: 1234if (oSession.uriContains('xxxxxx.xxx/xxxxxx') && oSession.oResponse.headers.Exis

Hello, 2020

单调连续函数定积分与数列求和的关系

定理 对连续函数\(f(x)\)和\(p,q \in \mathbb{Z}\)且\(p<q:\) 若\(f(x)\)单调递增, 则 \[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x<\sum_{i=a}^bf(i)<\int_a^{b+1}f(x)\mathrm{d}x\] 若\(f(x)\)单调递减, 则 \[\int_{a-1}^b f(x)\mathrm{d}x

多项式数列求和的计算方式

求多项式数列 \(a_n=f(n)\) 的前\(n\)项和, 只需找出 \(\sum_{i=1}^n i^k\) 的计算方法, 其中 \(k\in \mathbb{N}\) \(k=0\) 时, \(\sum_{i=1}^n i^k=n\) \(k=1\) 时, \(\sum_{i=1}^n i^k=\frac{n(n+1)}{2}\) 对于一般的 \(k\), 可用以下方式递归求得 \[\sum

机车启动问题-恒定功率启动 状态分析

常量: 功率 \(P\), 阻力 \(f\), 质量 \(m\) 变量: 牵引力 \(F\), 速度 \(v\), 加速度 \(a\) 两个方程: \[P=Fv\] \[ma=F-f\] 初始条件: \[v(0)=0\] 由方程可得 \[m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{P}{v}-f\] \[\therefore t=\int \frac{mv}{P

Happy New Year! 2019

[不务正业]毫无技术含量的Q群复读机分析器

复读机们试图统计群成员中有多少复读机。Naive! 不是复读机不是合格的群友, 快退群吧。 我基于 qqbot 写了一个复读分析的程序，跑去群里测试。 众人成测试工程师。 A few moments later. 这样的递归复读法运作起来毫无问题，但是观感极差，于是我加了个过滤器。 控制符是极具观赏性的玩法 (

数学归纳法的又一妙用

题: 对于 \({1,2,3,...,n}\) 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的交替和: 对每个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替地减或加后继的数(例如，\({1,2,4,6,9}\) 的交替和是 \(9-6+4-2+1=6;\) \({5}\) 的交替和是 \(5\)). 则交替和的总和为______. (用 \(n\) 表示) 初看时，知对任意一个元素，所有包含该元素的集合